1.1 넓이 근사하기

곡선 \(y=f(x)\) 아래의 넓이를 바로 계산하기 어렵다면, 먼저 우리가 잘 아는 직사각형으로 대충 덮어 보자. 구간 \([a,b]\)를 \(n\)개의 작은 조각으로 나누고 각 조각의 폭을 \(\Delta x=(b-a)/n\)이라 하면, 왼쪽 끝점, 오른쪽 끝점, 중점 중 어디에서 높이를 재느냐에 따라 서로 다른 근사값이 나온다. 함수가 증가 중이면 왼쪽합은 보통 작게, 오른쪽합은 크게 잡히며, 중점합은 둘 사이에서 꽤 영리하게 균형을 잡는 경우가 많다.

중요한 생각은 "작게 자를수록 더 정확해진다"이다. 예를 들어 \(f(x)=x^2\)를 \([0,2]\)에서 오른쪽 끝점 네 개로 근사하면 \(\Delta x=1/2\)이고 \(R_4=\frac12\left((1/2)^2+1^2+(3/2)^2+2^2\right)=15/4\)이다. 실제 넓이 \(8/3\)보다 크다. 곡선이 볼록하게 위로 휘어 있으니, 계단이 곡선 위로 삐죽삐죽 튀어나온 셈이다.

1.2 정적분

근사합에서 폭을 한없이 줄이면 정적분이 된다. 분할 \(P\)의 각 조각에서 임의의 표본점 \(x_i^*\)를 고르고, 가장 긴 조각의 길이 \(\|P\|\)가 \(0\)으로 갈 때 리만합이 하나의 값으로 다가가면 그 값을 \(\int_a^b f(x)\,dx\)라고 쓴다. 여기서 \(dx\)는 장식이 아니다. "아주 작은 \(x\)-폭들을 더하고 있다"는 기억표처럼 작동한다.

정적분은 항상 보통 넓이만 뜻하지 않는다. 그래프가 \(x\)-축 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수로 세는 부호 있는 넓이다. 그래서 \(\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\), \(\int_a^b cf=c\int_a^b f\), \(\int_b^a f=-\int_a^b f\) 같은 성질이 자연스럽다. 예를 들어 \(y=2x-1\)을 \([0,3]\)에서 적분하면 작은 음의 삼각형 \(-1/4\)와 큰 양의 삼각형 \(25/4\)가 합쳐져 \(6\)이 된다.

1.3 미적분학의 기본정리

기본정리는 미분과 적분이 서로 따로 노는 두 과목이 아니라는 선언이다. \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\)를 생각하면 \(F(x)\)는 \(a\)에서 \(x\)까지 쌓인 누적량이다. \(x\)를 아주 조금 늘렸을 때 새로 붙는 얇은 조각의 높이는 거의 \(f(x)\), 폭은 \(\Delta x\)이므로 증가량은 \(f(x)\Delta x\)에 가깝다. 따라서 \(F'(x)=f(x)\)가 된다.

위끝이 \(x\)가 아니라 \(g(x)\)라면 체인 룰이 붙어 \(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt=f(g(x))g'(x)\)가 된다. 예를 들어 \(\frac{d}{dx}\int_1^{x^2}\cos(t^3)\,dt=2x\cos(x^6)\)이다. 반대로 \(\int_0^\pi \sin x\,dx=[-\cos x]_0^\pi=2\)처럼, 정적분 계산은 "원시함수 찾기 후 끝값 빼기"로 급격히 단순해진다.

1.4 적분 공식과 순변화 정리

기본정리가 계산기를 켜 주었다면, 적분 공식은 자주 쓰는 단축키다. 거듭제곱, 삼각함수, 상수배, 합의 공식은 모두 미분 공식을 거꾸로 읽은 것이다. 단, \(\int x^n\,dx=x^{n+1}/(n+1)+C\)는 \(n\ne -1\)일 때만 맞고, \(n=-1\)은 로그가 등장한다는 점을 꼭 따로 기억하자.

순변화 정리는 적분의 물리적 의미를 한 문장으로 정리한다. 어떤 양 \(Q\)의 변화율이 \(Q'(t)\)이면 \(\int_a^b Q'(t)\,dt=Q(b)-Q(a)\)이다. 속도 \(v(t)\)를 적분하면 변위가 나오고, 속력 \(|v(t)|\)를 적분하면 총 이동거리가 나온다. 예를 들어 \(v(t)=3t^2-12t\)를 \(0\le t\le5\)에서 적분하면 변위는 \(-25\), 하지만 방향 전환 \(t=4\)를 기준으로 \(|v|\)를 적분하면 총 이동거리는 \(39\)가 된다.

1.5 치환적분

치환적분은 체인 룰을 거꾸로 쓰는 기술이다. 적분 안에 "겉함수와 속함수의 미분"이 함께 보이면 \(u=g(x)\), \(du=g'(x)\,dx\)로 바꿔 식을 단순하게 만든다. 좋은 치환은 남는 \(x\)를 없애 주고, 복잡했던 표정을 \(u\) 하나로 말끔히 정리해 준다.

예를 들어 \(\int 2x\cos(x^2+1)\,dx\)에서 \(u=x^2+1\)이면 \(du=2x\,dx\)이므로 결과는 \(\sin(x^2+1)+C\)다. 정적분에서는 끝점도 함께 바꾼다. \(\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx\)는 \(u=x^2\)로 두면 \(u\)의 범위가 \(0\)에서 \(1\)로 바뀌어 \(\int_0^1 e^u\,du=e-1\)이다. 끝점까지 바꾸면 마지막에 다시 \(x\)로 돌아오는 번거로움이 사라진다.

1.6 지수함수와 로그함수가 들어간 적분

지수함수 \(e^x\)는 미분해도 자기 자신이라 적분에서도 가장 덜 까다로운 주인공이다. 밑이 \(a\)인 지수함수는 \(\ln a\)가 보정계수로 붙는다. 한편 \(\frac1x\)의 원시함수는 \(\ln|x|\)이고, 더 일반적으로 분자에 분모의 미분이 보이면 로그가 기다리고 있다고 보면 된다.

짧은 예로 \(\int \frac{2x}{x^2+5}\,dx\)에서는 분모 \(x^2+5\)의 미분 \(2x\)가 분자에 있으므로 답은 \(\ln(x^2+5)+C\)이다. 또한 \(\int_0^{\ln 3} e^{2x}\,dx=\frac12[e^{2x}]_0^{\ln3}=4\)이다. 지수는 빠르게 커지고, 로그는 천천히 커진다. 적분에서도 그 성격이 그대로 계산의 크기를 좌우한다.

1.7 역삼각함수로 이어지는 적분

어떤 적분은 원시함수가 역삼각함수로 나타난다. 핵심은 모양을 알아보는 일이다. \(a^2-x^2\)가 제곱근 안에 있으면 \(\arcsin\), \(a^2+x^2\)가 분모에 있으면 \(\arctan\), \(x^2-a^2\)가 제곱근과 함께 분모에 있으면 \(\operatorname{arcsec}\) 계열을 의심한다.

예를 들어 \(\int \frac{dx}{x^2+4}=\frac12\arctan(x/2)+C\)이고, \(\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin(x/3)+C\)이다. 완전히 같은 모양이 아니어도 제곱완성을 하면 보일 때가 많다. \(x^2+4x+13=(x+2)^2+9\)처럼 정리하면, 적분은 \(x+2\)를 새 변수로 둔 \(\arctan\) 문제로 바뀐다.

2.1 두 곡선 사이의 넓이

한 곡선 아래 넓이를 알게 되었으니, 이제 두 곡선 사이의 넓이를 본다. 세로 조각을 쓰면 높이는 "위 함수 빼기 아래 함수"이고, 가로 조각을 쓰면 길이는 "오른쪽 함수 빼기 왼쪽 함수"다. 먼저 교점을 찾아 구간을 정하고, 그 구간 안에서 누가 위인지 또는 오른쪽인지 확인하는 것이 계산의 절반이다.

예를 들어 \(y=x\)와 \(y=x^2\)은 \(x=0,1\)에서 만나고, 그 사이에서는 \(x\ge x^2\)이다. 따라서 넓이는 \(\int_0^1(x-x^2)\,dx=1/6\)이다. 그래프가 중간에 위아래를 바꾸면 구간을 쪼개야 한다. 절댓값으로 한 번에 쓰는 방법도 있지만, 실제 풀이에서는 그림을 그려 부호를 확인하는 편이 실수를 줄인다.

2.2 단면으로 부피 구하기

부피도 넓이와 같은 방식으로 누적한다. 어떤 입체를 \(x\)-축에 수직인 얇은 조각으로 자를 때, \(x\)에서의 단면적을 \(A(x)\)라고 하면 얇은 조각의 부피는 대략 \(A(x)\Delta x\)이고, 이를 모두 더한 극한이 전체 부피다. 원판, 와셔, 정사각형 단면 같은 문제는 모두 이 한 문장의 변주다.

예를 들어 \(0\le x\le4\)에서 \(y=\sqrt{x}\) 아래 영역을 \(x\)-축 둘레로 회전하면 반지름이 \(\sqrt{x}\)인 원판들이 쌓인다. 따라서 \(V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi\)이다. 회전축에서 떨어진 빈 구멍이 생기면 바깥 반지름 \(R\)과 안쪽 반지름 \(r\)의 원판 차이, 즉 와셔로 생각한다.

2.3 회전체의 부피: 원통껍질 방법

원통껍질 방법은 얇은 직사각형 조각을 회전시켜 얇은 캔 껍질처럼 만드는 생각이다. 껍질 하나의 둘레는 \(2\pi(\text{반지름})\), 높이는 함수값의 차, 두께는 \(dx\) 또는 \(dy\)이므로 부피 조각은 \(2\pi(\text{반지름})(\text{높이})(\text{두께})\)가 된다.

\(0\le x\le1\), \(0\le y\le x^2\)인 영역을 \(y\)-축 둘레로 회전해 보자. 세로 조각을 쓰면 반지름은 \(x\), 높이는 \(x^2\)이므로 \(V=2\pi\int_0^1 x\cdot x^2\,dx=\pi/2\)이다. 같은 문제를 와셔로 풀 수도 있지만, 껍질 방법은 회전축과 평행한 조각을 잡을 때 특히 자연스럽다.

2.4 곡선의 길이와 회전곡면의 넓이

곡선 길이는 작은 직선 조각들의 길이를 더해 얻는다. \(y=f(x)\)에서 \(dx\)만큼 움직일 때 수직 변화는 \(dy=f'(x)dx\)이므로, 작은 길이는 피타고라스 정리에 의해 \(ds=\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\)가 된다. 이 \(ds\)를 적분하면 곡선 전체 길이다.

예를 들어 \(y=\frac23x^{3/2}\), \(0\le x\le1\)에서는 \(y'=\sqrt{x}\)이므로 \(L=\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx=\frac23(2\sqrt2-1)\)이다. 곡선을 회전시키면 작은 길이 조각 \(ds\)가 둘레 \(2\pi r\)인 띠를 만들고, 그 넓이를 더하면 회전곡면의 넓이가 된다. \(y=x\), \(0\le x\le1\)을 \(x\)-축 둘레로 돌리면 \(S=2\pi\int_0^1 x\sqrt2\,dx=\pi\sqrt2\)이다.

2.5 물리적 응용

물리 문제에서 적분은 "위치마다 달라지는 양"을 더하는 장치다. 힘이 일정하면 일은 \(W=Fd\)지만, 힘 \(F(x)\)가 위치에 따라 변하면 작은 일 \(F(x)\,dx\)를 더해야 한다. 스프링은 대표적인 예로, 훅의 법칙 \(F=kx\) 때문에 더 많이 늘릴수록 더 큰 힘이 필요하다.

스프링 상수가 \(k=80\text{ N/m}\)인 스프링을 자연 길이에서 \(0.10\text{ m}\) 늘어난 상태부터 \(0.30\text{ m}\) 늘어난 상태까지 더 당기면 \(W=\int_{0.10}^{0.30}80x\,dx=3.2\text{ J}\)이다. 유체 압력도 같은 논리다. 깊이가 깊을수록 압력이 커지므로, 탱크 벽을 얇은 띠로 잘라 각 띠에 작용하는 힘을 적분한다.

2.6 모멘트와 질량중심

질량중심은 물체가 "평균적으로 어디에 무게를 두고 있는가"를 나타낸다. 한 직선 위에 밀도 \(\rho(x)\)가 놓여 있다면 전체 질량은 \(m=\int_a^b \rho(x)\,dx\)이고, 원점에 대한 모멘트는 \(\int_a^b x\rho(x)\,dx\)이다. 질량중심 \(\bar{x}\)는 모멘트를 질량으로 나눈 값이다.

균일한 얇은 판이 \(y=x\), \(y=0\), \(x=1\)로 둘러싸인 삼각형이라면 \(A=1/2\)이다. \(\bar{x}=\frac{1}{A}\int_0^1 x\cdot x\,dx=2/3\), \(\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_0^1x^2\,dx=1/3\)이므로 질량중심은 \((2/3,1/3)\)이다. 그림으로 보면 넓은 쪽, 즉 오른쪽 아래로 중심이 치우쳐 있다는 사실과 잘 맞는다.

2.7 적분, 지수함수, 로그

로그는 단순한 계산 기호가 아니라 적분으로도 정의할 수 있다. \(x>0\)에서 \(\ln x=\int_1^x \frac1t\,dt\)라고 두면, 기본정리에 의해 \((\ln x)'=1/x\)가 된다. 또한 치환 \(t=au\)를 쓰면 넓이의 이동 법칙처럼 \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\)가 나온다. 로그 법칙이 갑자기 외운 주문이 아니라, \(1/t\) 아래 넓이의 성질로 보이기 시작한다.

지수함수 \(e^x\)는 자연로그의 역함수로 볼 수 있다. 그래서 \(y=e^x\)이면 \(\ln y=x\), 양변을 미분해 \(y'/y=1\), 즉 \(y'=y\)가 된다. 이 관점은 \(\int_2^4\frac{dx}{x}=\ln4-\ln2=\ln2\) 같은 계산을 단순한 공식 대입이 아니라 "2에서 4까지의 상대적 배율을 재는 넓이"로 이해하게 해 준다.

2.8 지수적 성장과 감쇠

어떤 양의 변화율이 현재 양에 비례하면 지수함수가 나타난다. 인구, 방사성 원소, 복리 이자, 냉각 모델이 모두 이 틀 안에 들어온다. 방정식 \(\frac{dy}{dt}=ky\)에서 \(k>0\)이면 성장, \(k<0\)이면 감쇠이며, 변수를 분리하면 \(\int dy/y=\int k\,dt\)가 되어 로그와 지수가 자연스럽게 이어진다.

어떤 세균 수가 6시간마다 두 배가 된다면 \(P(t)=P_0\,2^{t/6}=P_0e^{(\ln2)t/6}\)이다. 반대로 반감기가 5730년인 탄소-14의 양은 \(A(t)=A_0e^{-(\ln2)t/5730}\)로 모델링한다. 지수 모델에서 핵심은 처음 양보다 비율이다. 같은 \(10\%\) 증가는 작은 집단에는 작게, 큰 집단에는 크게 작용한다.

2.9 쌍곡선함수의 미적분

쌍곡선함수는 지수함수로 만든 삼각함수의 사촌쯤 된다. \(\sinh x=(e^x-e^{-x})/2\), \(\cosh x=(e^x+e^{-x})/2\)로 정의하며, \(\cosh^2x-\sinh^2x=1\)이라는 항등식 때문에 단위원 대신 쌍곡선 \(X^2-Y^2=1\)과 친하다. 전선이나 사슬이 늘어져 만드는 현수선도 \(\cosh\)로 나타난다.

역쌍곡선함수도 로그로 표현된다. \(\operatorname{arsinh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\), \(\operatorname{artanh}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}\) \((|x|<1)\)이다. 예를 들어 \(y=a\cosh(x/a)\)의 길이를 구하면 \(y'=\sinh(x/a)\)이고 \(\sqrt{1+(y')^2}=\cosh(x/a)\)가 되어, 현수선의 길이 적분이 깔끔하게 풀린다.

3.1 부분적분법

부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 읽은 공식이다. 곱 \(uv\)를 미분하면 \(u\,dv+v\,du\)가 나오므로, 한쪽 항을 적분으로 넘기면 \[\int u\,dv=uv-\int v\,du.\] 여기서 \(u\)는 미분하면 단순해지는 조각, \(dv\)는 적분할 수 있는 조각으로 고르는 것이 보통 좋다. 예를 들어 \(\int x e^x\,dx\)에서는 \(u=x\), \(dv=e^x dx\)로 두면 \(du=dx\), \(v=e^x\)라서 \[\int x e^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=e^x(x-1)+C.\]

정적분에서도 같은 생각이 통한다. \[\int_a^b u\,dv=\bigl[uv\bigr]_a^b-\int_a^b v\,du.\] 로그, 역삼각함수, 다항식과 지수함수의 곱처럼 “한 번 미분하면 얌전해지는” 항이 보이면 부분적분을 의심해 보자. \(\int \ln x\,dx\)처럼 곱이 아닌 식도 \(1\cdot \ln x\)로 보면 부분적분의 대상이 된다. 적분 기법의 세계에서는 눈치가 공식만큼 세다.

3.2 삼각함수 적분

\(\sin x\)와 \(\cos x\)의 거듭제곱이 섞인 적분은 항등식으로 모양을 정리해서 치환적분으로 끌고 가는 문제다. \(\sin^m x\cos^n x\)에서 \(\sin x\)의 지수가 홀수이면 \(\sin x\,dx\) 하나를 남기고 나머지를 \(1-\cos^2 x\)로 바꾼다. 반대로 \(\cos x\)의 지수가 홀수이면 \(\cos x\,dx\)를 남기고 \(1-\sin^2 x\)를 쓴다. 둘 다 짝수이면 반각공식 \[\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\] 으로 차수를 낮춘다.

짧게 보자. \(\int \sin^3 x\cos^2 x\,dx\)에서는 \(\sin^3 x=(1-\cos^2 x)\sin x\)로 쓰고 \(u=\cos x\)라 두면 \(du=-\sin x\,dx\)이다. 따라서 \[\int \sin^3 x\cos^2 x\,dx=-\int (1-u^2)u^2\,du=-\frac{u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C.\] \(\tan x\)와 \(\sec x\)도 비슷하다. \(\sec^2 x\,dx\)는 \(d(\tan x)\), \(\sec x\tan x\,dx\)는 \(d(\sec x)\)라는 사실을 붙잡으면 길이 보인다.

3.3 삼각치환

제곱근 안에 \(a^2-x^2\), \(a^2+x^2\), \(x^2-a^2\)가 보이면 직각삼각형이 뒤에서 손을 흔드는 중이다. 피타고라스 항등식에 맞추어 \[x=a\sin\theta\quad (a^2-x^2),\qquad x=a\tan\theta\quad (a^2+x^2),\qquad x=a\sec\theta\quad (x^2-a^2)\] 를 선택한다. 그러면 루트가 삼각함수의 제곱근으로 바뀌고, 항등식 덕분에 절댓값이나 삼각함수 하나로 정리된다.

예를 들어 \(\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}\)에서는 \(x=3\sin\theta\), \(dx=3\cos\theta\,d\theta\), \(\sqrt{9-x^2}=3\cos\theta\)가 되어 적분은 \(\int d\theta=\theta+C\)가 된다. 다시 \(x\)로 돌아오면 \(\theta=\arcsin(x/3)\)이므로 \[\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin\frac{x}{3}+C.\] 삼각치환의 마지막 단계는 늘 “원래 변수로 귀환”이다. 삼각형을 그려서 \(\sin\theta\), \(\tan\theta\), \(\sec\theta\)를 \(x\)와 \(a\)로 되돌리면 실수가 줄어든다.

3.4 부분분수

유리함수, 즉 다항식 나누기 다항식 꼴은 분모를 인수분해한 뒤 더 단순한 분수들의 합으로 쪼갤 수 있다. 먼저 분자의 차수가 분모의 차수 이상이면 다항식 나눗셈을 해서 “진분수”로 만든다. 그다음 서로 다른 일차인수 \(x-a\)에는 \(\frac{A}{x-a}\), 반복 인수 \((x-a)^k\)에는 \(\frac{A_1}{x-a}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}\), 더 이상 실수에서 쪼개지지 않는 이차인수 \(x^2+bx+c\)에는 \(\frac{Bx+C}{x^2+bx+c}\)를 둔다.

예를 들어 \[\frac{3x+5}{x^2-x-2}=\frac{3x+5}{(x-2)(x+1)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}.\] 양변에 \((x-2)(x+1)\)을 곱하면 \(3x+5=A(x+1)+B(x-2)\)이고, 계수를 비교하면 \(A=\frac{11}{3}\), \(B=-\frac{2}{3}\)이다. 따라서 \[\int \frac{3x+5}{x^2-x-2}\,dx=\frac{11}{3}\ln|x-2|-\frac{2}{3}\ln|x+1|+C.\] 부분분수는 복잡한 분모를 로그와 아크탄젠트가 처리할 수 있는 조각으로 분해하는 기술이다.

3.5 적분 전략 세우기

실전 적분은 “공식 암기 시험”이라기보다 식의 표정을 읽는 일에 가깝다. 먼저 대수적으로 단순화할 수 있는지 본다. 분자를 쪼개거나, 공통인수를 약분하거나, 삼각항등식으로 차수를 낮추는 것만으로 문제가 풀리기도 한다. 그다음 내부함수와 그 미분이 함께 보이면 치환적분, 곱의 구조와 단순해지는 항이 보이면 부분적분, 유리함수이면 부분분수, 루트가 피타고라스 꼴이면 삼각치환을 생각한다.

예를 들어 \(\int x\ln x\,dx\)는 치환보다 부분적분이 자연스럽다. \(u=\ln x\), \(dv=x\,dx\)로 두면 \[\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C.\] 반면 \(\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)는 \(u=1+x^2\)가 곧장 보인다. 한 방법에 너무 오래 매달리면 적분이 사람을 끌고 다닌다. 두세 줄 안에 구조가 안 풀리면 식을 다시 바라보는 편이 낫다.

3.6 수치적분

모든 적분이 예쁜 원시함수를 주지는 않는다. \(\int e^{-x^2}\,dx\)처럼 중요한데 초등함수로 표현되지 않는 적분도 많다. 이때는 구간 \([a,b]\)를 잘게 나누어 면적을 근사한다. 사다리꼴 공식은 그래프를 직선 조각으로 잇고, \[T_n=\frac{\Delta x}{2}\bigl(f(x_0)+2f(x_1)+\cdots+2f(x_{n-1})+f(x_n)\bigr)\] 로 계산한다. 중점 공식은 각 작은 구간의 가운데 높이를 쓰고, Simpson 공식은 두 구간마다 포물선을 맞춘다.

Simpson 공식은 \(n\)이 짝수일 때 \[S_n=\frac{\Delta x}{3}\bigl(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigr)\] 이다. 예를 들어 \(\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\)를 \(n=2\)로 근사하면 \[S_2=\frac{1}{6}\left(1+4e^{-1/4}+e^{-1}\right)\approx 0.747.\] 구간을 더 잘게 나누면 보통 더 좋아지지만, 함수가 급격히 변하거나 매끄럽지 않으면 오차가 예상보다 커질 수 있다. 수치적분은 답을 “기호로 예쁘게” 쓰는 대신 “필요한 정확도까지 믿을 만하게” 얻는 방법이다.

3.7 이상적분

적분 구간이 무한히 길거나, 함수가 구간 안에서 무한대로 치솟으면 이상적분이다. 이런 적분은 그냥 끝점을 대입하지 않고 극한으로 정의한다. \[\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx,\qquad \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{t\to a^+}\int_t^b f(x)\,dx\] 처럼 문제가 있는 지점을 살짝 피한 뒤 극한을 본다. 극한이 유한하면 수렴, 유한한 값으로 가지 않으면 발산이다.

대표 기준은 \(p\)-적분이다. \[\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx\text{ 는 }p>1\text{일 때 수렴하고},\qquad \int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx\text{ 는 }p<1\text{일 때 수렴한다}.\] 그래서 \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=1\)이지만 \(\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx\)는 발산한다. 특이점이 구간 중간에 있으면 반드시 양쪽으로 나누어 각각의 극한을 따져야 한다. 한쪽이 실패하면 전체도 실패다.

4.1 미분방정식의 기본

미분방정식은 미지의 함수와 그 도함수를 포함하는 방정식이다. 예를 들어 \(y'=ky\)는 함수의 변화율이 자기 자신의 \(k\)배라는 뜻이고, 해는 \(y=Ce^{kt}\) 꼴이다. 가장 높은 도함수의 차수를 방정식의 차수라고 하며, \(y''+y=0\)은 2차 미분방정식이다. 해는 하나의 함수일 수도 있고, 상수 \(C\)를 포함한 함수족일 수도 있다.

초기조건이 붙으면 이야기가 더 구체적이 된다. \(y'=ky\), \(y(0)=y_0\)라면 \(C=y_0\)이므로 \(y=y_0e^{kt}\)가 된다. 이렇게 미분방정식과 초기조건을 함께 둔 문제를 초기값 문제라고 부른다. 물리, 생물, 경제 모델에서 미분방정식은 “법칙”을, 초기조건은 “출발점”을 맡는다. 둘이 만나야 실제 경로가 정해진다.

4.2 방향장과 수치해법

일차 미분방정식 \(y'=f(t,y)\)는 평면의 각 점 \((t,y)\)마다 기울기 하나를 지정한다. 그 기울기를 짧은 선분으로 그려 놓은 그림이 방향장이다. 해곡선은 이 작은 선분들의 흐름을 따라가는 곡선이다. 정확한 공식을 몰라도 방향장을 보면 해가 증가하는지, 평형값으로 다가가는지, 어느 영역에서 급격히 움직이는지 꽤 많이 알 수 있다.

수치적으로는 Euler 방법이 첫 출발점이다. 간격 \(h\)를 정하고 \[t_{n+1}=t_n+h,\qquad y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n)\] 로 한 걸음씩 전진한다. 예를 들어 \(y'=t-y\), \(y(0)=1\), \(h=0.5\)이면 \(y_1=1+0.5(0-1)=0.5\), 다음 점에서는 기울기 \(0.5-0.5=0\)이라 \(y_2=0.5\)가 된다. Euler 방법은 단순한 만큼 오차가 쌓이므로, 작은 \(h\)가 보통 더 믿음직하다.

4.3 변수분리형 방정식

방정식이 \(\frac{dy}{dt}=g(t)h(y)\)처럼 \(t\)의 함수와 \(y\)의 함수의 곱으로 분리되면 변수분리형이다. \(h(y)\ne 0\)인 구간에서 \[\frac{1}{h(y)}\,dy=g(t)\,dt\] 로 양쪽 변수를 나누고 각각 적분한다. 이때 \(dy\)와 \(dt\)를 실제 분수처럼 조심스럽게 다루는 표기는 계산을 안내하는 약속이다. 엄밀한 배경은 합성함수 미분법에 있다.

예를 들어 \(y'=ty^2\)이면 \(y^{-2}dy=t\,dt\)로 놓고 적분하여 \[-\frac{1}{y}=\frac{t^2}{2}+C,\qquad y=-\frac{1}{t^2/2+C}.\] 다만 나누는 과정에서 \(h(y)=0\)인 해를 잃을 수 있다. 위 예에서는 \(y=0\)도 별도의 해다. 변수분리는 강력하지만, 나누기 전에 “혹시 0으로 나누는 해가 있었나?”를 확인하는 습관이 필요하다.

4.4 로지스틱 방정식

지수성장 \(P'=rP\)는 자원이 무한하다는 낙관적인 가정을 품고 있다. 실제 개체군이나 확산 과정에서는 한계용량 \(K\)가 등장하는 경우가 많다. 로지스틱 방정식 \[\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)\] 은 \(P\)가 작을 때는 거의 지수성장처럼 움직이고, \(P\)가 \(K\)에 가까워질수록 성장률이 줄어들게 만든다. 평형해는 \(P=0\)과 \(P=K\)이다. \(r>0\)이면 보통 \(K\)가 장기적으로 끌어당기는 안정 평형이다.

초기값 \(P(0)=P_0\)가 \(0

4.5 일차 선형방정식

일차 선형 미분방정식은 \[y'+p(t)y=q(t)\] 꼴로 쓸 수 있는 방정식이다. 핵심은 적분인자 \[\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}\] 를 곱해서 왼쪽을 곱의 미분으로 만드는 것이다. 실제로 \(\mu'=\mu p(t)\)이므로 \[\mu y'+\mu p(t)y=(\mu y)'.\] 따라서 \((\mu y)'=\mu q(t)\)를 적분하면 해가 나온다.

예를 들어 \(y'+2y=e^t\)에서는 \(\mu=e^{2t}\)이고 \[(e^{2t}y)'=e^{2t}e^t=e^{3t}.\] 적분하면 \(e^{2t}y=\frac{1}{3}e^{3t}+C\), 즉 \[y=\frac{1}{3}e^t+Ce^{-2t}.\] 변수분리형과 겹치는 경우도 있지만, 일차 선형방정식의 강점은 \(q(t)\)처럼 외부 입력이 있는 모델을 체계적으로 다룬다는 데 있다.

5.1 수열

수열은 숫자를 순서대로 늘어놓은 함수라고 볼 수 있다. 보통 \(a_n\)처럼 쓰며, 입력은 자연수 \(n=1,2,3,\ldots\)이다. 수열 \(\{a_n\}\)이 \(L\)에 수렴한다는 말은 \(n\)이 충분히 커지면 \(a_n\)이 \(L\)에 마음껏 가까워진다는 뜻이다. 기호로는 \(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)이다. 예를 들어 \(a_n=1/n\)은 0에 수렴하고, \(a_n=(-1)^n\)은 \(-1\)과 \(1\) 사이를 영원히 오가므로 수렴하지 않는다.

수열의 극한은 함수의 극한과 닮았다. \(a_n=f(n)\)이고 \(\lim_{x\to\infty}f(x)=L\)이면 \(\lim_{n\to\infty}a_n=L\)로 따라간다. 또 단조수렴정리도 자주 쓴다. 증가하면서 위로 막힌 수열, 또는 감소하면서 아래로 막힌 수열은 반드시 수렴한다. 예컨대 \(a_n=1-\frac{1}{n}\)은 증가하고 위로 1에 막혀 있으므로 수렴하며, 실제 극한도 1이다. “계속 올라가는데 천장을 뚫지는 못한다면 어딘가에 붙는다”는 직관이 꽤 정확한 정리로 굳어진 셈이다.

5.2 무한급수

무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)는 항 \(a_n\)을 모두 더한다는 표기지만, 실제 판정은 부분합 \(s_N=a_1+a_2+\cdots+a_N\)의 수열로 한다. 부분합 수열 \(\{s_N\}\)이 어떤 값 \(S\)에 수렴하면 급수는 \(S\)로 수렴한다고 말하고, 그렇지 않으면 발산한다. 즉 급수는 “무한히 많은 덧셈”이 아니라 “부분합의 극한”이다.

가장 기본적인 예는 기하급수다. \(|r|<1\)이면 \[ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n=\frac{a}{1-r}. \] 이유는 부분합 \(s_N=a(1-r^{N+1})/(1-r)\)에서 \(r^{N+1}\to0\)이기 때문이다. 반대로 \(|r|\ge1\)이면 항 자체가 0으로 가지 않거나 부분합이 안정되지 않아 발산한다. 예를 들어 \(1+\frac12+\frac14+\cdots=2\)는 수렴하지만, \(1+2+4+\cdots\)는 당연히 멀리 달아난다.

5.3 발산판정법과 적분판정법

급수가 수렴하려면 항 \(a_n\)은 반드시 0으로 가야 한다. 그래서 \(\lim_{n\to\infty}a_n\ne0\)이거나 극한이 존재하지 않으면 \(\sum a_n\)은 발산한다. 이것이 발산판정법이다. 다만 역은 거짓이다. \(a_n\to0\)이라고 해서 급수가 수렴하는 것은 아니다. 대표적으로 조화급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac1n \] 는 항이 0으로 가지만 전체 합은 발산한다. 항이 작아지는 것과 누적합이 멈추는 것은 다른 이야기다.

적분판정법은 양수항 급수를 넓이와 비교한다. \(f(x)\)가 양수이고 연속이며 감소하고 \(a_n=f(n)\)이면 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)과 \(\int_1^\infty f(x)\,dx\)는 함께 수렴하거나 함께 발산한다. 이 판정법으로 \(p\)-급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p} \] 는 \(p>1\)일 때 수렴하고 \(p\le1\)일 때 발산함을 얻는다. 특히 \(1/n^2\)은 충분히 빨리 작아지지만, \(1/n\)은 너무 느긋해서 무한히 더하면 끝내 무한대로 흘러간다.

5.4 비교판정법

양수항 급수에서는 이미 아는 급수와 크기를 비교하는 전략이 강력하다. \(0\le a_n\le b_n\)이고 \(\sum b_n\)이 수렴하면 \(\sum a_n\)도 수렴한다. 반대로 \(0\le b_n\le a_n\)이고 \(\sum b_n\)이 발산하면 \(\sum a_n\)도 발산한다. 예컨대 \[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+5} \] 는 \(\frac{1}{n^2+5}\le\frac1{n^2}\)이고 \(\sum 1/n^2\)이 수렴하므로 수렴한다.

직접 비교가 어색할 때는 극한비교판정법을 쓴다. 양수항 \(a_n,b_n\)에 대해 \[ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c,\qquad 0

5.5 교대급수

부호가 번갈아 나타나는 급수는 양수항 급수보다 섬세하다. 교대급수 \[ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n \] 에서 \(b_n\ge0\), \(b_n\)이 감소하고, \(b_n\to0\)이면 급수는 수렴한다. 부분합이 실제 합의 양쪽에서 점점 좁게 흔들리기 때문이다. 대표적으로 \(\sum (-1)^{n+1}/n\)은 수렴한다. 조화급수는 발산하지만, 부호를 번갈아 붙이면 서로 조금씩 상쇄되어 안정된다.

다만 이 급수는 절대수렴하지 않는다. \(\sum |(-1)^{n+1}/n|=\sum1/n\)이 발산하기 때문이다. 절대값을 붙여도 수렴하면 절대수렴, 원래 급수만 수렴하면 조건수렴이라고 부른다. 교대급수의 좋은 보너스는 오차 추정이다. 조건을 만족할 때 \(N\)번째 부분합 \(s_N\)으로 실제 합 \(S\)를 근사하면 \[ |S-s_N|\le b_{N+1}. \] 다음 항의 크기만 보면 오차의 최대치가 잡힌다. 꽤 친절한 급수다.

5.6 비율판정법과 근판정법

계승 \(n!\), 거듭제곱 \(c^n\), 복잡한 곱이 들어간 급수에서는 비율판정법이 자주 첫 번째 선택이다. 절대값을 취한 항에 대해 \[ L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \] 을 계산한다. \(L<1\)이면 절대수렴, \(L>1\) 또는 무한대이면 발산, \(L=1\)이면 판정 불가다. 예를 들어 \(\sum n!/3^n\)에서는 비율이 \((n+1)/3\to\infty\)이므로 발산한다. 반면 \(\sum 3^n/n!\)에서는 비율이 \(3/(n+1)\to0\)이라 절대수렴한다.

근판정법은 항 전체가 \(n\)제곱 꼴일 때 빛난다. \[ L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \] 에 대해 역시 \(L<1\)이면 절대수렴, \(L>1\)이면 발산, \(L=1\)이면 판정 불가다. 예를 들어 \(\sum \left(\frac{2n+1}{3n+4}\right)^n\)은 \(n\)제곱근을 취하면 \((2n+1)/(3n+4)\to2/3\)이므로 수렴한다. 두 판정법은 “항이 기하급수보다 빠르게 줄어드는가?”를 묻는 도구라고 생각하면 된다.

6.1 거듭제곱급수와 함수

거듭제곱급수는 보통 \[ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n \] 꼴로 쓰며, 중심은 \(a\), 계수는 \(c_n\)이다. \(x\)를 하나 고정하면 이것은 숫자 급수가 되므로, 수렴하는 \(x\)들의 모임이 곧 이 급수가 정의하는 함수의 정의역이 된다. 대개 수렴 구간은 중심 \(a\)를 기준으로 한 반지름 \(R\)을 가지며, \(|x-a|R\)에서는 발산한다. 끝점 \(x=a\pm R\)은 따로 검사해야 한다.

예를 들어 기하급수에서 \[ \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n,\qquad |x|<1 \] 이다. 이 등식은 모든 실수 \(x\)에서 참인 항등식이 아니라, \(-1

6.2 거듭제곱급수의 성질

거듭제곱급수의 수렴 반지름 안에서는 다항식처럼 다루어도 된다. 즉 항별 미분과 항별 적분이 가능하다. \[ \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n =\sum_{n=1}^{\infty}n c_n(x-a)^{n-1}, \] \[ \int \sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n\,dx =C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{n+1}(x-a)^{n+1}. \] 미분하거나 적분해도 수렴 반지름 \(R\)은 그대로다. 단, 끝점의 수렴 여부는 바뀔 수 있으므로 다시 확인해야 한다.

이 성질은 이미 아는 하나의 급수에서 많은 함수를 뽑아내게 해 준다. \(\frac1{1-x}=\sum x^n\)을 적분하면 \[ -\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n},\qquad |x|<1 \] 을 얻는다. 또 \(x\)를 \(-x^2\)로 바꾸면 \[ \frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n},\qquad |x|<1 \] 이다. 거듭제곱급수의 능숙함은 새 공식을 외우는 데서보다, 기존 급수를 변형하는 손맛에서 나온다.

6.3 테일러급수와 매클로린급수

함수 \(f\)가 중심 \(a\) 근처에서 충분히 잘 미분 가능하다면, 그 함수를 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \] 으로 표현하려고 시도할 수 있다. 이것이 \(a\)를 중심으로 한 테일러급수이고, 특히 \(a=0\)이면 매클로린급수라고 부른다. 계수 \(\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\)는 우연히 생긴 장식이 아니다. 급수와 함수의 값, 1차 미분값, 2차 미분값, 그리고 모든 차수의 미분값이 \(x=a\)에서 서로 맞도록 강제로 정한 값이다.

기본 매클로린급수는 자주 쓰이는 계산 도구다. \[ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\qquad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \] \[ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},\qquad \frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n. \] 다만 테일러급수가 만들어진다고 해서 자동으로 원래 함수와 같아지는 것은 아니다. 실제로 함수와 급수가 같은지 확인하려면 나머지항, 즉 오차가 0으로 가는지를 봐야 한다.

6.4 테일러급수 활용하기

테일러급수는 계산기 없는 근사에서 특히 강하다. \(N\)차 테일러다항식 \[ T_N(x)=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \] 은 \(a\) 근처에서 \(f(x)\)를 다항식으로 대신한다. 예를 들어 \(e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}\)는 \(x\)가 0에 가까울수록 훌륭하다. \(\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}\), \(\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}\)도 물리와 공학에서 매일같이 쓰이는 근사다. 작은 각도에서 \(\sin x\approx x\)가 되는 이유도 여기 있다.

오차 관리는 근사의 품질을 결정한다. 교대급수 조건을 만족하는 경우에는 다음 항의 크기가 오차의 상한을 준다. 더 일반적으로는 라그랑주 나머지항 \[ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1} \] 을 사용하며, 여기서 \(c\)는 \(a\)와 \(x\) 사이의 어떤 값이다. 실제 \(c\)를 모르더라도 \(|f^{(N+1)}(t)|\le M\) 같은 상계를 잡으면 \[ |R_N(x)|\le \frac{M}{(N+1)!}|x-a|^{N+1} \] 로 오차를 통제할 수 있다. 테일러급수의 목표는 “무한히 많이 쓰기”가 아니라, 필요한 정확도에 맞춰 적당한 만큼만 영리하게 쓰는 것이다.

7.1 매개방정식

매개방정식은 점의 위치를 \(x\)와 \(y\)가 아니라 제3의 변수 \(t\)로 동시에 정한다. 즉 \(x=f(t)\), \(y=g(t)\), \(a\le t\le b\)처럼 쓰면, \(t\)가 시계처럼 움직이며 평면 위 점 \((f(t),g(t))\)를 그려 나간다. 이때 중요한 정보는 곡선의 모양만이 아니다. 어디서 출발해 어디로 가는지, 같은 점을 몇 번 지나는지, 어떤 속도로 지나가는지도 함께 담긴다. 예를 들어 \(x=\cos t,\ y=\sin t\), \(0\le t\le 2\pi\)는 단순히 단위원을 말하는 것이 아니라, \((1,0)\)에서 출발해 반시계방향으로 한 바퀴 돈다는 이야기까지 품고 있다.

매개변수를 없애면 익숙한 직교좌표식이 나오기도 한다. \(x=t^2-1,\ y=2t\)라면 \(t=y/2\)이므로 \(x=y^2/4-1\), 즉 오른쪽으로 열린 포물선이다. 다만 여기서 조심할 점은 “매개변수 제거”가 곡선의 주민등록번호 전체를 보존하지는 않는다는 것이다. \(t\)의 범위가 제한되어 있으면 포물선의 일부만 그려지고, 서로 다른 \(t\)가 같은 점을 만들 수도 있다. 따라서 그래프를 해석할 때는 직교좌표식, \(t\)의 범위, 진행 방향을 한 묶음으로 보아야 한다.

7.2 매개곡선의 미적분

매개곡선의 미적분은 “\(x\)가 \(t\)에 따라 얼마나 변하고, \(y\)가 \(t\)에 따라 얼마나 변하는가”를 비교하는 방식으로 진행된다. \(dx/dt\ne 0\)일 때 접선의 기울기는 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\)이다. 수직 접선은 보통 \(dx/dt=0\), \(dy/dt\ne0\)에서 나타나고, 수평 접선은 \(dy/dt=0\), \(dx/dt\ne0\)에서 나타난다. 두 번째 미분도 같은 생각이다. 먼저 \(\frac{dy}{dx}\)를 \(t\)의 함수로 구한 뒤, 다시 \(x\)에 대해 미분한다.

넓이와 길이에서는 매개변수가 특히 편하다. \(x(t)\)가 증가하고 \(y(t)\ge0\)인 구간에서는 면적이 \(\displaystyle A=\int_a^b y(t)x'(t)\,dt\)가 된다. 방향이 거꾸로라면 부호가 바뀌므로, 실제 넓이를 구할 때는 구간의 진행 방향을 확인해야 한다. 호의 길이는 작은 이동량 \((dx,dy)\)의 피타고라스 합을 적분한 것으로, \(\displaystyle L=\int_a^b\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt\)이다. 짧은 확인: \(x=3\cos t,\ y=3\sin t\), \(0\le t\le\pi\)이면 integrand가 \(3\)이므로 위쪽 반원의 길이는 \(3\pi\)다.

7.3 극좌표

극좌표는 점을 \((x,y)\) 대신 \((r,\theta)\)로 표시한다. \(r\)은 원점에서 얼마나 떨어졌는지, \(\theta\)는 양의 \(x\)축에서 얼마나 돌아갔는지를 뜻한다. 변환 공식은 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\), 반대로 \(r^2=x^2+y^2,\ \tan\theta=y/x\)이다. 단, \(\tan\theta\)만 보고 사분면을 잊으면 각도가 엉뚱한 곳으로 간다. 또 \((r,\theta)\), \((r,\theta+2\pi)\), \((-r,\theta+\pi)\)는 같은 점을 나타낼 수 있다. 극좌표는 정확하지만, 한 점에 별명이 많은 동네다.

극방정식 \(r=f(\theta)\)는 각도마다 반지름을 정해 곡선을 그린다. \(r=a\)는 원점 중심의 원, \(\theta=\alpha\)는 원점을 지나는 직선, \(r=a+b\theta\)는 나선, \(r=a(1+\cos\theta)\) 같은 식은 심장형 곡선, \(r=a\cos(n\theta)\)나 \(r=a\sin(n\theta)\)는 장미곡선을 만든다. 예를 들어 \(r=2\cos\theta\)는 양변에 \(r\)을 곱해 \(r^2=2r\cos\theta\), 즉 \(x^2+y^2=2x\)가 되므로 \((x-1)^2+y^2=1\)인 원이다. 극좌표 그래프에서는 대칭도 강력한 단서다. \(\theta\)를 \(-\theta\)로 바꾸어 식이 유지되면 극축 대칭, \(\theta\)를 \(\pi-\theta\)로 바꾸어 유지되면 \(y\)축 대칭을 의심해 볼 만하다.

7.4 극좌표에서의 넓이와 호의 길이

극좌표에서 넓이는 직사각형이 아니라 부채꼴 조각으로 쪼개어 생각한다. 반지름이 \(r\), 중심각이 작은 \(d\theta\)인 부채꼴의 넓이가 대략 \(\frac12 r^2\,d\theta\)이기 때문에, \(\alpha\le\theta\le\beta\)에서 \(r=f(\theta)\)가 그리는 영역의 넓이는 \(\displaystyle A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta\)가 된다. 두 극곡선 사이의 넓이는 바깥 반지름 \(R(\theta)\)와 안쪽 반지름 \(r(\theta)\)의 제곱 차이를 적분한다. 여기서 가장 흔한 실수는 교점을 놓치는 것이다. 특히 원점은 서로 다른 \(\theta\) 값으로 같은 점이 될 수 있어, 방정식 \(r_1=r_2\)만 풀면 빠질 때가 있다.

극곡선의 길이는 매개곡선 공식에 \(x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta\)를 넣어 얻는다. 정리하면 놀랍게도 깔끔하게 \(\displaystyle L=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\)가 된다. 짧은 예로 \(r=3\sin(2\theta)\)의 한 꽃잎은 \(0\le\theta\le\pi/2\)에서 그려지며, 넓이는 \(\displaystyle \frac12\int_0^{\pi/2}9\sin^2(2\theta)\,d\theta=\frac{9\pi}{8}\)이다. 극좌표에서는 “어느 구간이 곡선을 정확히 한 번 그리는가”가 계산의 절반이다.

7.5 원뿔곡선

원뿔곡선은 초점과 준선, 또는 두 초점까지의 거리 관계로 정의되는 곡선들이다. 포물선은 한 초점과 한 준선까지의 거리가 같은 점들의 집합이고, 타원은 두 초점까지 거리의 합이 일정한 점들의 집합이며, 쌍곡선은 두 초점까지 거리의 차가 일정한 점들의 집합이다. 표준형에서는 포물선 \(y^2=4px\), 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), 쌍곡선 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)처럼 생긴다. 이때 이심률 \(e\)는 곡선이 얼마나 초점 쪽으로 “당겨졌는가”를 재는 수치이며, 타원은 \(0\lt e\lt 1\), 포물선은 \(e=1\), 쌍곡선은 \(e\gt 1\)이다.

극좌표는 원뿔곡선을 한 줄로 묶어 준다. 초점 하나가 극점에 있을 때 많은 원뿔곡선은 \(\displaystyle r=\frac{ep}{1\pm e\cos\theta}\) 또는 \(\displaystyle r=\frac{ep}{1\pm e\sin\theta}\)로 쓸 수 있다. 분모에서 상수항을 \(1\)로 맞춘 뒤 \(\cos\theta\)나 \(\sin\theta\)의 계수를 보면 이심률이 드러난다. 예를 들어 \(r=\frac{6}{2+\cos\theta}=\frac{3}{1+\frac12\cos\theta}\)는 \(e=\frac12\)이므로 타원이다. 일반 이차식 \(Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\)에서는 판별식 \(B^2-4AC\)가 모양을 가른다. 음수이면 타원형, 0이면 포물선형, 양수이면 쌍곡선형이며, \(Bxy\) 항이 있으면 좌표축이 회전한 상황으로 보면 된다.

A. 적분표

적분표는 “내가 이 적분을 풀 줄 모른다”는 선언이 아니라 “이미 알려진 패턴을 알아보겠다”는 전략이다. 표를 볼 때는 먼저 적분식을 \(u\)의 모양으로 정리하고, 빠진 상수배가 있는지 확인한다. 예를 들어 \(\int \frac{dx}{1+9x^2}\)는 \(u=3x\)로 바꾸면 \(\int\frac{du}{1+u^2}\) 꼴이 숨어 있다. 표는 답을 던져 주지만, 치환과 상수 조정은 사용자의 몫이다.

특히 삼각적분, 지수와 로그 적분, 역삼각함수가 나오는 적분, \(\sqrt{a^2-u^2}\), \(\sqrt{u^2-a^2}\), \(\sqrt{a^2+u^2}\) 꼴은 표의 도움을 받을 일이 많다. 답을 얻은 뒤에는 미분해서 원래 integrand가 돌아오는지 확인하자. 이 검산은 귀찮아 보여도 부호 하나가 답 전체를 뒤집는 일을 조용히 막아 준다.

B. 미분표

미분표는 적분표보다 더 기본적인 지도다. 거듭제곱, 삼각함수, 역삼각함수, 지수와 로그, 쌍곡함수의 미분이 정리되어 있으며, 대부분의 복잡한 미분은 여기에 곱의 법칙, 몫의 법칙, 체인룰을 얹어 만든다. 예컨대 \(\frac{d}{dx}\sin(x^2)=2x\cos(x^2)\)는 표의 \((\sin u)'=\cos u\cdot u'\)를 그대로 쓴 것이다.

이 표는 적분 공부에도 자주 돌아온다. \(\int \frac{1}{1+x^2}\,dx\)를 보면 \((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)가 떠올라야 하고, \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)를 보면 \(\arcsin x\)가 후보로 올라와야 한다. 미분표를 잘 읽는 학생은 적분표를 훨씬 덜 무섭게 느낀다.

C. 프리칼큘러스 복습

미적분에서 막히는 순간의 상당수는 사실 미분이나 적분보다 그 이전의 대수, 삼각함수, 기하에서 온다. 부록 C는 넓이와 부피 공식, 지수법칙, 인수분해, 이차방정식, 이항정리, 삼각함수의 기본값과 항등식을 빠르게 되살리는 곳이다. 특히 이번 7장에서는 라디안, 부채꼴 넓이 \(\frac12r^2\theta\), 호의 길이 \(r\theta\), \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)이 계속 등장한다.

복습은 “처음부터 다시 읽기”보다 “문제에서 삐걱거린 도구만 바로 꺼내기”가 좋다. 극좌표 변환이 헷갈리면 삼각비와 사분면을 보고, 원뿔곡선에서 표준형이 흔들리면 완전제곱과 이차식 정리를 보라. 미적분은 높은 건물이지만, 계단의 많은 칸은 프리칼큘러스가 만든다.

정답표와 색인 활용

정답표는 풀이를 대신하는 선생님이 아니라, 풀이가 끝난 뒤 방향을 확인하는 나침반으로 쓰는 편이 좋다. 먼저 자기 풀이를 끝까지 밀어붙이고, 답이 다르면 계산 실수인지 개념 선택이 잘못됐는지 거슬러 올라가자. 색인은 “어디서 봤더라?”를 해결하는 검색 지도다. 예를 들어 eccentricity, polar axis, arc length 같은 용어가 기억의 문턱에 걸릴 때 색인에서 위치를 찾고, 해당 절로 돌아가 맥락까지 다시 확인하면 된다.